英格里德·法德利，科学X网络，物理
（同organic）有机 网络的邻接矩阵(左)，以及该网络在空间中的三种不同嵌入(右)
网络的邻接矩阵记录网络连通性的信息
例如，在图中的网络中，节点A和节点B通过一条链路相连，因此，行A和列B相交处的邻接矩阵中的元素为1
类似地，节点A和C不是通过链路连接的，因此行A和列C的交集处的邻接矩阵中的元素为零
由左边的邻接矩阵描述的网络的前两个网络嵌入是彼此相同的，因为它们可以通过简单地“展平”嵌入而相互转换，而不需要切断任何链接
另一方面，右侧的嵌入与其他两个嵌入不同，因为为了将其转换为其他两个嵌入，至少需要切开一个链接(例如红色链接)让其他链接通过
信用:刘、德马米、巴拉斯
许多物理网络的结构和功能，包括人脑、血管系统和其他生物网络，通常取决于它们的三维和几何布局
然而，区分连接相同但几何布局不同的物理网络可能非常具有挑战性
东北大学的研究人员最近引入了一种叫做网络同伦的理论构造，它可以帮助科学家区分物理网络
网络同伦提供了一个分类工具，它概括了三维网络布局的类别，这些类别可以在没有链接交叉的情况下相互转换
“我们的项目最初是出于对网络布局的好奇，”进行这项研究的研究人员之一刘晏辰告诉《物理》杂志
（同organic）有机
“我们办公室有许多三维打印的网络，在实验室的不同项目中进行了研究
当我们观察这些网络时，我们想知道:如果对于一个给定的网络(链路的固定布线)，有无限种方法可以在三维空间中放置节点和链路，我们如何判断同一网络的两种布局是相同还是不同？而且，我们应该如何定义网络布局之间的相似性，如果两种布局不同，我们应该如何衡量它们之间的差异程度？" 在他们开始进行研究后不久，刘和她的同事意识到网络几何布局有两种不同的主要方式
第一个取决于网络布局的延伸程度，而第二个是由所谓的链路交叉(即
e
相互穿过的链接)
同一晶格网络的三种不同非同位素嵌入
左边的嵌入是解开的；中间的嵌入比第一个更复杂，第三个是最复杂的
它们的缠结程度可以用图联系数来量化
信用:刘、德马米、巴拉斯
“第一种差异微不足道，但第二种差异耐人寻味，”刘解释说
结理论也研究过类似的问题，结理论是一个专门研究由一条或多条闭合曲线形成的结的领域
" 物理网络的嵌入(I
e
布局)本质上是描述它的节点和链接是如何在空间中放在一起的
在他们的论文中，刘和她的同事引入了一个叫做网络嵌入同伦的概念，它可以用来区分给定网络在三维空间中不同的可能嵌入
刘说:“如果两个网络嵌入彼此是同位素的，这意味着它们可以延伸到彼此之中，而不必切开任何链路让其他链路通过。”
“另一方面，如果两个网络嵌入互不相同，这意味着它们不可能在不切断联系的情况下不断地相互转化
" 这个研究小组定义的网络同伦的概念可以用来衡量不同的网络嵌入纠缠在一起的程度，这种度量被称为图联系数
有趣的是，刘和她的同事发现，这一措施也与布局的弹性能量相关
据观察，网络嵌入的弹性能与其图联系数线性相关
网络嵌入的弹性能量与所有链路的总长度成正比
E和G之间的线性关系可以用G的每一次增加都拉伸网络嵌入中的链接来解释，而网络嵌入又反过来增加E，每一次缠结(每一次缠结使G增加1)所导致的能量增加量被量化为一个常数
信用:刘、德马米、巴拉斯
许多物理系统可以被描述为网络，其中很大一部分是物理网络
研究者引入的理论概念是研究这些系统的性质和几何特征的有效工具
“在我看来，这篇论文有三个重要的成就，”刘说
“第一个是我们定义了网络嵌入同伦，它是纽结同伦从纽结理论到网络嵌入的扩展
第二，我们发明了图联系数，这是一种衡量网络嵌入混乱程度的有用方法
最后，我们发现网络嵌入的图连接数与网络嵌入的弹性能量相关
" 刘和她的同事利用他们的发现开发了一个描述物理网络中缠结形成的统计模型
将来，这个模型可以用来评估物理系统的三维布局混乱的程度
例如，在他们最近的论文中，研究人员用它来检查许多物理系统的缠结，包括老鼠的大脑
由于本文中介绍的所有理论结构都可以应用于各种各样的物理网络，因此它们最终可以支持侧重于广泛主题的物理研究
“我们现在继续研究物理网络，”刘说
“目前，我正在研究一个特定的物理网络:果蝇幼虫大脑网络，这是一个由嵌入三维空间的神经元形成的网络
我们特别感兴趣的是这个网络的物理性质(它的嵌入)和它的结构属性(神经元是如何通过神经元接线连接的)之间的联系
"
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